Study of Water Flow in Dams using Successive Over-relaxation Translated title: Estudio del flujo de agua en presas con sobre relajaciones sucesivas

Abstract

Free surface problems represent boundary value problems in which a portion of the boundary, the free surface, is unknown and must be determined as part of the solution. Classical rigorous and approximate procedures used to draw this line are limited to homogeneous and isotropic media with specific geometries. Currently, this can be determined using numerical methods such as the finite element method (FEM). Nevertheless, FEM requires the storing and handling of a large number of matrices to solve linear equation systems, increasing calculation time. The present article proposes an alternative to analyze free surface problems based on the numerical solution of finite difference equations using the successive over-relaxation method (SOR). Two techniques are implemented with the SOR method- Baiocchi's Solution and the Extended Pressure Method with the iterative Gauss-Seidel process. First, the theoretical basis for these methods are provided. Then, their applicability is described according to an analysis of unconfined flow in a homogeneous and a heterogeneous dam. As part of the results, the upper flow lines obtained with each technique and the flow networks calculated with the SOR method are presented and the use of finite difference equations to determine the hydraulic gradient and flow rate through the flow domain is described. Lastly, conclusions and recommendations for applying and optimizing the use of these techniques are provided.

Translated abstract

Los denominados problemas de superficie libre son problemas de valores de frontera en los que una porción de la frontera, la superficie libre, no se conoce y debe determinarse como parte de la solución. Los procedimientos rigurosos y aproximados clásicos para el trazo de esta línea se limitan a medios homogéneos e isótropos con geometrías particulares. Actualmente es posible emplear métodos numéricos como los elementos finitos (MEF) para su determinación. Sin embargo, el MEF requiere la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que involucran el almacenamiento y manejo de un gran número de matrices que incrementan el tiempo de cálculo. En este artículo se propone una alternativa para analizar problemas de superficie libre que se basa en la resolución numérica de ecuaciones de diferencias finitas mediante el método de sobre relajaciones sucesivas (SOR, Successive Overrelaxation). Se expone la implementación de dos técnicas basadas en el método SOR: la Solución de Baiocchi y el Método de la Presión Extendida, aplicando el proceso iterativo de Gauss-Seidel. Inicialmente se proporcionan las bases teóricas de estos métodos. De manera posterior, su aplicabilidad queda expuesta con el análisis del flujo no confinado en una presa homogénea y en otra heterogénea. Como parte de los resultados, se presentan las líneas de flujo superior obtenidas con cada técnica y las redes de flujo calculadas con el método SOR; asimismo, se explica cómo determinar el gradiente hidráulico y el gasto de infiltración a través del dominio de flujo mediante ecuaciones de diferencias finitas. Por último, se proporcionan comentarios concluyentes y recomendaciones de cómo aplicar y optimar el empleo de estas técnicas.